Caractérisation d'un cercle

Propriété

On considère deux points  \(\text A\) et \(\text B\) du plan.
L'ensemble des points \(\text M\) tel que  \(\vec{\text M\text A}\cdot\vec{\text M\text B} = 0\) est le cercle de diamètre \([\text A\text B]\) .

Démonstration

Soit  \(\text A\) et  \(\text B\) deux points du plan. Soit un point \(\text M\) tel que  \(\vec{\text M\text A}\cdot\vec{\text M\text B} = 0\) .
On note  \(\text I\) le milieu du segment  \([\text A\text B]\) , alors   \(\vec{\text M\text A}\cdot \vec{\text M\text B} = (\vec{\text M\text I} +\vec{\text I\text A})\cdot(\vec{\text M\text I} +\vec{\text I\text B}) = \vec{\text M\text I}^2 +\vec{\text I\text A}\cdot\vec{\text M\text I} + \vec{\text M\text I}\cdot\vec{\text I\text B}+\vec{\text I\text A}\cdot \vec{\text I\text B} \\ \vec{\text M\text A}\cdot\vec{\text M\text B}= \text M\text I^2 +\vec{\text M\text I} \cdot(\vec{\text I\text A}+ \vec{\text I\text B})-\vec{\text I\text A}^2= \text M\text I^2 +\vec{\text M\text I} \cdot(\vec{\text I\text A}- \vec{\text I\text A})-\text I\text A^2 = \text M\text I^2 -\text I\text A^2\) .

On a ainsi démontré que \(\vec{\text M\text A}\cdot \vec{\text M\text B} = 0\)  est équivalent à  \(\text M\text I^2 = \text I\text A ^2\) , soit \(\text M\text I = \text I\text A\) (on travaille avec des mesures de longueur, donc positives).
Ce résultat s'interprète comme le fait que \(\text M\) est situé à une distance  \(\text I\text A\)  du point \(\text I\) , milieu du segment  \([\text A\text B]\)  : il appartient donc au cercle de diamètre   \([\text A\text B]\) .

Remarque

Le fait que, pour tout point  \(\text M\) appartenant à un cercle de diamètre   \([\text A\text B]\) , on ait  \(\vec{\text M\text A}\cdot \vec{\text M\text B} = 0\) permet également de dire que les droites \((\text M\text A)\) et \((\text M\text B)\) sont perpendiculaires et que le triangle \(\text {AMB}\) est rectangle en \(\text M\) . Ainsi, un triangle est rectangle si et seulement si l'un de ses côtés est le diamètre du cercle circonscrit.